Question

15．在△ABC中，若2$\overrightarrow{OA}$-3$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{O}$，则△AOB，△AOC，△ACB的面积之比为（　　）

• A． 5：3：4
• B． 3：5：10
• C． 4：3：5
• D． 5：3：10

Answer 1

分析 如图，根据相似比及面积的计算公式可得S_△AOB=$\frac{1}{3×2}$S_△B'OD，S_△AOC=$\frac{1}{5}$S_△AOD=$\frac{1}{5×2}$S_△B'OD，S_△ACB=S_△AOB+S_△BOC-S_△AOC=$\frac{1}{3×2}$S_△B'OD+$\frac{1}{3×5}$S_△B'OD-$\frac{1}{5×2}$S_△B'OD=$\frac{2}{15}$S_△B'OD，计算即可．

解答 解：如图，根据题意，作$\overrightarrow{O{A}^{′}}=2\overrightarrow{OA}$，
$\overrightarrow{OB′}=3\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC′}=5\overrightarrow{OC}$，
$\overrightarrow{OD}=-5\overrightarrow{OC′}$，连结AD、AC′，
则根据相似比及面积的计算公式，可得
S_△AOB=$\frac{1}{3×2}$S_△B'OD=$\frac{1}{6}$S_△B'OD，
S_△AOC=$\frac{1}{5}$S_△AOD=$\frac{1}{5×2}$S_△B'OD=$\frac{1}{10}$S_△B'OD，
S_△ACB=S_△AOB+S_△BOC-S_△AOC
=$\frac{1}{3×2}$S_△B'OD+$\frac{1}{3×5}$S_△B'OD-$\frac{1}{5×2}$S_△B'OD
=$\frac{2}{15}$S_△B'OD，
因此S_△AOB：S_△AOC：S_△ACB=$\frac{1}{6}$S_△B'OD：$\frac{1}{10}$S_△B'OD：$\frac{2}{15}$S_△B'OD
=5：3：4，
故选：A．

点评 本题考查向量在几何中的应用、向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．属中档题．