Question

16．若函数f（x）=2x+ae^x有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{e}$，+∞）
• B． （-$\frac{1}{e}$，0）
• C． （-$\frac{2}{e}$，+∞）
• D． （-$\frac{2}{e}$，0）

Answer 1

分析 通过讨论a讨论函数的单调性，从而结合函数零点的判定定理确定实数a的取值范围．

解答 解：①当a≥0时，易知函数f（x）=2x+ae^x是增函数，
故函数f（x）=2x+ae^x不可能有两个零点；
②当a＜0时，令f′（x）=2+ae^x=0得，
x=ln（-$\frac{2}{a}$）；
故f（x）在（-∞，ln（-$\frac{2}{a}$））上是增函数，在（ln（-$\frac{2}{a}$），+∞）上是减函数，
故若函数f（x）=2x+ae^x有两个零点，
则f（ln（-$\frac{2}{a}$））＞0，
即2ln（-$\frac{2}{a}$）-2＞0，
a＞-$\frac{2}{e}$；
故-$\frac{2}{e}$＜a＜0；
故选D．

点评 本题考查了导数的应用及函数的单调性的判断与应用，同时考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题．