Question

6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（b≠1），且$\frac{C}{A}$，$\frac{sinB}{sinA}$都是方程log${\;}_{\sqrt{b}}$x=log_b（4x-4）的根，则△ABC中最大的角是（　　）

• A． 135°
• B． 120°
• C． 90°
• D． 150°

Answer 1

分析 由已知等式可求得x₁=x₂=2，既有$\frac{sinB}{sinA}=\frac{C}{A}=2$，可求得b=2a，C=2A，由余弦定理可求B，由A+C=3A=90°，即可求得A，C的值，从而得解．

解答 解：∵log${\;}_{\sqrt{b}}$x=log_bx²（x＞0），
∴原等式等价于$\left\{\begin{array}{l}{4x-4＞0}\\{{log}_{b}^{{x}^{2}}{=log}_{b}（4x-4）}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{{x}^{2}=4x-4}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{（x-2）^{2}=0}\end{array}\right.$，
∴x₁=x₂=2，
∴$\frac{sinB}{sinA}=\frac{C}{A}=2$，
∴C=2A且sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
∵C=2A，
∴sinC=sin2A=2sinAcosA，即c=2acosA=2a•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴bc²=ab²+ac²-a³，又∵b=2a，
∴2c²=b²+c²-a²，即a²+c²=b²，
∴B=90°，
∴A+C=3A=90°，
∴A=30°，B=90°，C=60°，
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了对数函数的性质，三角形内角和定理的应用，属于基本知识的考查．