Question

18．如图，∠ACB=90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD=AB=2，则三棱锥D-AEF体积的最大值为 $\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 要求三棱锥D-AEF体积的最大值，由题意可得：DE⊥平面AEF，且DE=$\sqrt{2}$．因此只有求出Rt△AEF面积的最大值即可．

解答 解：∵DA⊥平面ABC，
∴DA⊥AB，AD⊥BC．
∵AE⊥BD，又AD=AB=2，
∴DE=$\sqrt{2}$．
又BC⊥AC，AC∩AD=A，
∴BC⊥平面ACD．
∴平面BCD⊥平面ACD，
∵AF⊥CD，平面BCD∩平面ACD=CD，
∴AF⊥平面BCD．
∴AF⊥EF，BD⊥EF．
∴BD⊥平面AEF．
由AF²+EF²=AE²=2≥2AF•EF，
∴AF•EF≤1．
∴S_△AEF≤$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$．
∴则三棱锥D-AEF体积的最大值为$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形的面积计算公式、三角形相似的性质、圆的性质、射影定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．