Question

9．若不等式x²+2$\sqrt{2}$xy≤a（x²+y²）对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为2．

Answer 1

分析 x²+2$\sqrt{2}$xy≤a（x²+y²）?（a-1）（$\frac{x}{y}$）²-2$\sqrt{2}$×$\frac{x}{y}$+a≥0，对于一切正数x，y恒成立，依题意，令f（t）=（a-1）t²-2t+a，列不等式组$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{f（\frac{\sqrt{2}}{a-1}）≥0}\end{array}\right.$，解之即可得答案．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴x²+2$\sqrt{2}$xy≤a（x²+y²）?（a-1）（$\frac{x}{y}$）²-2$\sqrt{2}$×$\frac{x}{y}$+a≥0，
令t=$\frac{x}{y}$（t＞0），f（t）=（a-1）t²-2$\sqrt{2}$t+a，
依题意，$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{f（\frac{\sqrt{2}}{a-1}）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a-\frac{2}{a-1}≥0}\end{array}\right.$，解得a≥2．
∴实数a的最小值为2．
故答案为：2

点评 本题考查函数恒成立问题，考查转化与构造函数思想，考查解不等式组的能力，属于难题．