Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{e^x}+ax+b，x＜1\\{x^2}lnx-cx+c+1，x≥1\end{array}$（a，b，c∈R且为常数），函数f（x）在x=0处取得极值1．
（1）若对任意的x∈（-∞，1）都有f（x）≤f（2），求c的取值范围；
（2）若方程f（x）=1在区间（-∞，2]上有且仅有3个根，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当x＜1时，求导f′（x）=-e^x+a，从而可得f′（0）=0，f（0）=1，从而解出a=1，b=2，代入可得x＜1时，f（x）=-e^x+x+2，f′（x）=-e^x+1，从而讨论函数的单调性从而求出最大值，从而求实数c的取值范围；
（2）由（1）知道方程f（x）=1在区间（-∞，1）有一个根，从而化为方程f（x）=1在区间[1，2]上有且仅有两个根；再由导数判断函数的单调性，结合函数零点的判定定理确定函数的零点的个数，从而求出方程的根的个数，从而求实数c的取值范围．

解答 解：（1）当x＜1时，f′（x）=-e^x+a，
由f′（0）=0，f（0）=1解得a=1，b=2，
所以，x＜1时，f（x）=-e^x+x+2，f′（x）=-e^x+1，
当x＜0时，f′（x）＞0，函数y=f（x）在（-∞，0）上单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数y=f（x）在（0，1）上单调递减，
所以，f（x）在区间（-∞，1）上的最大值是f（0）=1，
即f（2）≥1，得c≤4ln2，
即实数c的取值范围是（-∞，4ln2]；
（2）由（1）知道方程f（x）=1在区间（-∞，1）有一个根，
所以方程f（x）=1在区间[1，2]上有且仅有两个根．
当x≥1时，f′（x）=2xlnx+x-c在区间[1，+∞）上单调递增，
又f（1）=1，f′（1）=1-c，f′（2）=4ln2+2-c，
所以①c≤1时，f′（x）≥0，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
当x∈（1，2]时，f（x）＞1，方程f（x）=1在区间[1，2]上有且仅有一个根；
②c≥4ln2+2时，f′（x）≤0，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
当x∈（1，2]时，f（x）＜1方程f（x）=1在区间[1，2]上有且仅有一个根；
③当1＜c＜4ln2+2时，f′（1）＜0，f′（2）＞0，存在唯一x₀∈（1，2）使得f′（x₀）=0，
此时f（x）在区间（1，x₀）上递减，在区间（x₀，2）上递增，
方程f（x）=1在区间[1，2]上有且仅有两个根等价于f（2）≥1，
即1＜c≤4ln2．
综上，实数c的取值范围是（1，4ln2]．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点判定定理的应用，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于中档题．