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    （2007•普陀区一模）在直角坐标系中，已知点列P1（1，-
    1
    2
    ），P2（2，
    1
    22
    ），P3（3，-
    1
    23
    ），…，Pn（n，(-
    1
    2
    )n    ），…，其中n是正整数．连接P1 P2的直线与x轴交于点X1（x1，0），连接P2 P3的直线与x轴交于点X2（x2，0），…，连接Pn Pn+1的直线与x轴交于点Xn（xn，0），…．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）依次记△X1P2X2的面积为S1，△X2P3X3的面积为S3，…，△XnPn+1Xn的面积为Sn，…试求无穷数列{Sn}的各项和．
    分析：（1）由题设知直线PnPn+1的方程为：
    y-(-
    1
    2
    )    n
    x-n
    =
    (-
    1
    2
    )    n+1    -(-
    1
    2
    )    n
    (n+1)-n
    =(-
    3
    2
    ) (-
    1
    2
    )    n    ，令y=0，得xn=x=n+
    2
    3
    ．
    （2）由Sn=
    1
    2n+2
    ，知数列{an}是首项为
    1
    8
    ，公比为
    1
    2
    的等比数列，由此能求出无穷数列{Sn}的各项和．
    解答：解：（1）∵Pn（n，(-
    1
    2
    )n    ），Pn+1（n+1，(-
    1
    2
    )    n+1    ），
    ∴直线PnPn+1的方程为：
    y-(-
    1
    2
    )    n
    x-n
    =
    (-
    1
    2
    )    n+1    -(-
    1
    2
    )    n
    (n+1)-n
    =(-
    3
    2
    ) (-
    1
    2
    )    n    ，
    ∴令y=0，得-(-
    1
    2
    )    n    =(-
    3
    2
    ) (-
    1
    2
    )    n    (x-n)    ，
    整理，得x-n=
    2
    3
    ，
    ∴xn=x=n+
    2
    3
    ．
    即xn=n+
    2
    3
    ，n∈N*    ．
    （2）由题设条件能够导出Sn=
    1
    2n+2
    ，
    ∴数列{an}是首项为
    1
    8
    ，公比为
    1
    2
    的等比数列，
    ∴S=
    lim
    n→∞
    Sn=
    1
    8
    1-
    1
    2
    =
    1
    4
    ．
    点评：本题考查数列现解析几何的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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    （-∞，-2）和（+2，+∞）
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    4
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    1
    3
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    ±
    2
    		2
    3
    ±
    2
    		2
    3
    ．

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    {3}
    {3}
    ．

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