Question

已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n，满足a₁=a_n=0，且当2≤k≤n（k∈N^*）时，．令S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）写出S（A₅）的所有可能取值；
（Ⅱ）求S（A_n）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据新定义，分类，即可求S（A₅）的所有可能取值；
（Ⅱ）由，可设a_k-a_k-1=c_k-1，可得a_n=a₁+c₁+c₂+…+c_n-1，根据a₁=a_n=0，可得c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n为奇数，c₁，c₂，…，c_n-1是由个1和个-1构成的数列，由此可得当c₁，c₂，…，c_n-1的前项取1，后项取-1时S（A_n）最大．
解答：解：（Ⅰ）由题设，满足条件的数列A₅的所有可能情况有：
（1）0，1，2，1，0．此时S（A₅）=4；
（2）0，1，0，1，0．此时S（A₅）=2；
（3）0，1，0，-1，0．此时S（A₅）=0；
（4）0，-1，-2，-1，0．此时S（A₅）=-4；
（5）0，-1，0，1，0．此时S（A₅）=0；
（6）0，-1，0，-1，0．此时S（A₅）=-2．
所以，S（A₅）的所有可能取值为：-4，-2，0，2，4．．…（5分）
（Ⅱ）由，可设a_k-a_k-1=c_k-1，则c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），a₂-a₁=c₁，a₃-a₂=c₂，
…a_n-a_n-1=c_n-1，
所以a_n=a₁+c₁+c₂+…+c_n-1．                               …（7分）
因为a₁=a_n=0，所以c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n为奇数，c₁，c₂，…，c_n-1是由个1和个-1构成的数列．
所以S（A_n）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_n-1）=（n-1）c₁+（n-2）c₂+…+2c_n-2+c_n-1．
则当c₁，c₂，…，c_n-1的前项取1，后项取-1时S（A_n）最大，
此时S（A_n）==．．…（10分）
证明如下：
假设c₁，c₂，…，c_n-1的前项中恰有t项取-1，则c₁，c₂，…，c_n-1的后项中恰有t项取1，其中，，，i=1，2，…，t．
所以S（A_n）==-2[（n-m₁）+（n-m₂）+…+（n-m_t）]+2[（n-n₁）+（n-n₂）+…+（n-n_t）]=．
所以S（A_n）的最大值为．．…（13分）
点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查反证法的运用，难度较大．