【题目】已知定义域是R上的奇函数.
(1)求a;
(2)判断在R上的单调性,并用定义法证明;
(3)若对任意的,不等式
恒成立,求实数k的取值范围;
(4)设关于x方程有零点,求实数b的取值范围.
【答案】(1);
(2)在R上单调递增,证明见解析;
(3);
(4);
【解析】
(1)根据奇函数的性质,,求
;(2)根据(1)的结论,
,变形为
,利用单调性的的定义域证明;(3)函数是奇函数,不等式变形为
,根据(2)可知,函数单调递增,所以
恒成立,利用参变分离得
恒成立,求
的取值范围;(4)因为函数是奇函数,所以
,所以
,即:
有零点,设
,
,转化为求函数的值域.
(1)因为是R上的奇函数,所以
,即:
,∴
,经检验,满足
,所以
.
(2)
∴在R上单调递增,以下证明:
对,且
由
的单调递增性知
又,
,
∴
∴在R上单调递增.
(3)由题意,对,
又
∴
又由(2)知:在R上单调递增
∴
令,易知其最小值是-4.
∴,即
(4)由题意知:有零点
即:
在R上单调
∴
即:有零点
令:
有零点
即:函数与函数
有交点
易知:有最小值
∴时,
有零点.
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【题目】已知椭圆的离心率
,且经过点
,
,
,
,
为椭圆的四个顶点(如图),直线
过右顶点
且垂直于
轴.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)为
上一点(
轴上方),直线
,
分别交椭圆于
,
两点,若
,求点
的坐标.
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【题目】已知函数(
,且
为自然对数的底数)
(1)判断函数的单调性并证明;
(2)判断函数的奇偶性并证明;
(3)是否存在实数,使不等式
对一切
都成立?若存在,求出
的范围,若不存在说明理由.
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【题目】对于数列,若存在常数M,使得对任意
,
与
中至少有一个不小于M,则记作
,那么下列命题正确的是( ).
A.若,则数列
各项均大于或等于M;
B.若,则
;
C.若,
,则
;
D.若,则
;
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【题目】如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB, AB⊥BC,AB=BC=2CD=2,侧棱AA1⊥平面ABCD.且点M是AB1的中点
(1)证明:CM∥平面ADD1A1;
(2)求点M到平面ADD1A1的距离.
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【题目】已知椭圆的焦距为
,离心率为
,其右焦点为
,过点
作直线交椭圆于另一点
.
(Ⅰ)若,求
的面积;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆
相交于两点
、
,设
为
上一点,且满足
(
为坐标原点),当
时,求实数
的取值范围.
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