Question

已知函数f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1．
（1）求函数f（x）在（0，2）上的最小值；
（2）设g（x）=-x²+2mx-4，若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数f（x）在（0，2）上的单调性，从而可得函数f（x）的极小值，即可求出最小值；
（2）由（1）知，f（x）_min=-

1

2

对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，等价于-x²+2mx-4≤-

1

2

，x，∈[1，2]恒成立，利用分离参数法及基本不等式，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）求导函数，可得f′(x)=

1

x

-

1

4

-

3

4x2

=

4x-x2-3

4x2

∵0＜x＜2，令f′（x）＞0，可得1＜x＜2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜1
∴函数f（x）在（0，2）上的单调递增区间是（1，2），单调递减区间是（0，1）
∴函数f（x）在x=1处，取得极小值，且为最小值f(1)=-

1

2

（2）由（1）知，f（x）_min=-

1

2

对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，等价于-x²+2mx-4≤-

1

2

，x，∈[1，2]恒成立．
∴m≤

7

4x

+

x

2

，x，∈[1，2]恒成立．
∵

7

4x

+

x

2

≥2

7 4x × x 2

=

14

2

，当且仅当

7

4x

=

x

2

，即x=

14

2

时取等号
∴m≤

14

2

∴实数m的取值范围为(-∞，

14

2

]

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是利用导数确定函数的单调性与最值．