Question

【题目】已知函数f（x）=ex+e﹣x ， 其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵f（x）=ex+e﹣x ，
∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；
（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，
即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，
∵x＞0，
∴ex+e﹣x﹣1＞0，
即m≤在（0，+∞）上恒成立，
设t=ex ， （t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，
∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤﹣．
【解析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；
（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围．