Question

【题目】在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC= ， SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是 ， 若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是

Answer 1

【答案】6π
【解析】解：如图所示：
取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，
∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．
由题意：AB⊥BC，AB=BC= ， 易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，
又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，
在△SBD中，BD=AC=X2=1，
在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，
在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SDBDcos∠SDB=3+1﹣2×X1X=2，
满足SB2=SD2﹣BD2 ， ∴∠SBD=90°，SB⊥BD，
又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．
以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，
正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=X ， R= ， 球的表面积S=4πX=6π．
故答案为：6π．

审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．