Question

【题目】设,.

（Ⅰ）当时,求曲线在处的切线的方程;

（Ⅱ）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;

（Ⅲ）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（本小题14分）

（1）当时，，，，，

所以曲线在处的切线方程为； （4分）

（2）存在，使得成立

等价于：，

考察，，

		递减	极（最）小值	递增

由上表可知：，

，

所以满足条件的最大整数； （8分）

（3）对任意的，都有成立

等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，

由（2）知，在区间上，的最大值为。

，下证当时，在区间上，函数恒成立。

当且时，，

记，，。

当，；当，

，

所以函数在区间上递减，在区间上递增，

，即， 所以当且时，成立，

即对任意，都有。 （14分）

（3）另解：当时，恒成立

等价于恒成立，

记，，。

记，，由于，

, 所以在上递减，

当时，，时，，

即函数在区间上递增，在区间上递减，

所以，所以。 （14分）

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数在给定点处的切线方程，以及不等式的恒成立问题的综合运用。

（1）利用导数的几何意义，求解切线的斜率，和切点坐标，表示出切线方程。

（2）要是不等式恒成立，构造函数，研究函数单调性，进而得到参数m的最值。

（3）对任意的s,t属于[1/2,1]，都有f(s)f(t)成立

等价于：在区间[1/2,1]，上，函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，

结合第二问的结论得到。

解：（1）当时，，，，，

所以曲线在处的切线方程为；4分

（2）存在，使得成立，

等价于：，

考察，

		递减	极（最）小值	递增

，

由上表可知：，

，

所以满足条件的最大整数；8分

3）当时，恒成立，等价于恒成立，

记，，。

记，，由于，

, 所以在上递减，又h/（1）=0，

当时，，时，，

即函数在区间上递增，在区间上递减，

所以，所以。12分

（3）另解：对任意的，都有成立

等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，

由（2）知，在区间上，的最大值为。

，下证当时，在区间上，函数恒成立。

当且时，，

记，，

当，；当，

，

所以函数在区间上递减，在区间上递增，

，即，

所以当且时，成立，

即对任意，都有。