Question

【题目】如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形， ，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设AD＝2， ，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）连结交于点，首先利用中位线定理得∥，，利用线面平行判定定理可得结果；（2）利用，从而可得结果.

试题解析：（1）连结交于点，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD中点，又E是PD中点，所以∥，又,

所以PB∥平面AEC

（2）过点E作PA的平行线交AD于F点，

因为,所以，

又因为EF∥PA,所以,所以EF是三棱锥E-ACD的高

所以

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.