Question

【题目】已知如图：四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2 ，EB=BC=2，点F为CE上一点，且BF⊥平面ACE．

（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求三棱锥A﹣DBE的体积；
（3）求二面角D﹣BE﹣A的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC交BD于G，连结GF，

∵ABCD是矩形，∴G为AC的中点，

由BF⊥平面ACE得：BF⊥CE，

由EB=BC知：点F为CE中点，

∴FG为△ACE的中位线，

∴FG∥AE，

∵AE平面BFD，FG平面BFD，

∴AE∥平面BFD．

（2）解：由BF⊥平面ACE得：BF⊥AE，

由BC⊥平面ABE及BC∥AD，得：BC⊥AE，AD⊥平面ABE，

∵BC∩BF=F，∴AE⊥平面BCE，则AE⊥BE，

∴VA﹣DBE=VD﹣ABE= ，

即三棱锥A﹣DBE的体积为 ．

（3）解：由（2）知：AE⊥BE，AD⊥BE，

∴BE⊥平面ADE，则BE⊥DE，

∴∠DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角

在Rt△ADE中，DE= =4，

∴AD= DE，则∠DEA=30°，

∴二面角D﹣BE﹣A的大小为30°

【解析】（1）连接AC交BD于G，连结GF，则G为AC的中点，推导出BF⊥CE，FG为△ACE的中位线，由此能证明AE∥平面BFD．（2）推导出BF⊥AE，BC⊥AE，AD⊥平面ABE，从而AE⊥BE，由VA﹣DBE=VD﹣ABE ， 能求出三棱锥A﹣DBE的体积．（3）由AE⊥BE，AD⊥BE，得到∠DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BE﹣A的大小．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．