Question

【题目】如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连结DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.

（Ⅰ）求证:AB为圆的直径;

（Ⅱ）若AC=BD,求证:AB=ED.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由切割线定理得∠PDA=∠DBA,由PG=PD,得∠PGD=∠EGA,所以∠DBA=∠EGA,即B,D,F,G四点共圆，从而∠BDA=∠PFA.而AF⊥EP,所以∠PFA=90°, ∠BDA=90°（2）由AC=BD,可得DC∥AB，所以DC⊥EP，即ED为直径.因此AB=ED.

试题解析：证明　(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,

又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.

由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故AB是直径.

(2)连结BC,DC.

由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,

从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,

所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,

所以DC⊥EP,∠DCE为直角.于是ED为直径.由(1)得ED=AB.