Question

2．已知函数$f（x）=\frac{{m{e^x}}}{2}$与函数g（x）=-2x²-x+1的图象有两个不同的交点，则实数m取值范围为（　　）

• A． [0，1）
• B． $[0，2）∪\{-\frac{18}{e^2}\}$
• C． $（0，2）∪\{-\frac{18}{e^2}\}$
• D． $[0，2\sqrt{e}）∪\{-\frac{18}{e^2}\}$

Answer 1

分析 问题转化为函数y=m的图象和函数h（x）=$\frac{-{4x}^{2}-2x+2}{{e}^{x}}$的图象有2个交点，求出函数h（x）的单调性，画出函数h（x）的图象，从而求出m的范围即可．

解答 解：由题意得：$\frac{{me}^{x}}{2}$=-2x²-x+1，
∴m=$\frac{-{4x}^{2}-2x+2}{{e}^{x}}$，
问题转化为函数y=m的图象和函数h（x）=$\frac{-{4x}^{2}-2x+2}{{e}^{x}}$的图象有2个交点，
h′（x）=$\frac{2（2x+1）（x-2）}{{e}^{x}}$，
故函数h（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）和（2，+∞）上递增，
在（-$\frac{1}{2}$，2）单调递减，且x→+∞时，
h（x）→0，h（-$\frac{1}{2}$）=2$\sqrt{e}$，h（2）=-$\frac{18}{{e}^{2}}$，
作出函数h（x）的图象，
如图示：

观察图象得：函数f（x）和g（x）的图象有2个不同的交点时，
实数m∈[0，2$\sqrt{e}$）∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$}，
故选：D．

点评 不同考查了函数的交点问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．