Question

10．已知$\overrightarrow{AC}$=（cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$，2cos$\frac{x}{2}$），
（1）设f（x）=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$，求f（x）的最小正周期及在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最值；
（2）设x₁，x₂为f（x）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$在（π，3π）内的两个实数根，求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的坐标表示，利用二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，根据周期公式及正弦函数图象及性质即可求得求f（x）的最小正周期及在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最值；
（2）由f（x）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求得sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据正弦函数的对称性即可求得x₁+x₂的值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$）•（sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$）+sin$\frac{x}{2}$•2cos$\frac{x}{2}$，
=sin²$\frac{x}{2}$-cos²$\frac{x}{2}$+2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$，
=sinx-cosx，
=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
由T=$\frac{2π}{ω}$=2π，
x∈[0，$\frac{π}{2}$]，x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
由正弦函数图象可知f（x）的最大值为1，最小值为-1，
f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为1，最小值为-1；
（2）f（x）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₁-$\frac{π}{4}$，x₂-$\frac{π}{4}$关于x=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）对称，
由x₁，x₂∈（π，3π），x₁-$\frac{π}{4}$，x₂-$\frac{π}{4}$关于x=$\frac{π}{2}$+2π对称，
由正弦函数图象可知：x₁+x₂=（$\frac{π}{2}$+2π）×2+$\frac{π}{4}$×2=$\frac{11π}{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{11π}{2}$．

点评 本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．