Question

17．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$，则满足不等式f（a）＜$\frac{1}{2}$的实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （-1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 直接分成两类讨论，①当a≤0时，解得a∈（-∞，-1）；②当a＞0时，解得a∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$），再综合即可．

解答 解：分段函数解不等式，直接分段讨论求解，
①当a≤0时，f（a）=2^a＜$\frac{1}{2}$=2^-1，
根据指数函数y=2^x的单调性，解得a＜-1，
即a∈（-∞，-1）；
②当a＞0时，f（a）=|log₂a|＜$\frac{1}{2}$，
即-$\frac{1}{2}$＜log₂a＜$\frac{1}{2}$，
解得a∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$），
综合以上讨论得，a∈（-∞，-1）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$），
故答案为：D．

点评 本题主要考查了分段函数的应用，涉及对数不等式和指数不等式的解法，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．