Question

6．已知函数f（x）=2x³-x²-3x+1．
（1）求证：f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）若f（x）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f（x）=0的一个近似解（精确到0.1）．

f（1）=-1	f（1.5）=1	f（1.25）=-0.40625
f（1.375）=0.18359	f（1.3125）=-0.13818	f（1.34375）=0.01581

Answer 1

分析 （1）根据函数零点存在定理即可判断，
（2）由二分法的定义进行判断，根据其原理--零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确答案．

解答 解：（1）证明：∵f（x）=2x³-x²-3x+1，
∴f（1）=-1＜0，f（2）=7＞0，
∴f（1）•f（2）=-7＜0
且f（x）=2x³-x²-3x+1在（1，2）内连续，
所以f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）由（1）知，f（x）=2x³-x²-3x+1在（1，2）内存在零点，
由表知，f（1）=-1，f（1.5）=1，
∴f（1）•f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1，1.5）上，
∵f（1.25）=-0.40625，∴f（1.25）•f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.5）上，
∵f（1.375）=0.18359，∴f（1.25）•f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.375）上，
∵f（1.3125）=-0.13818，∴f（1.3125）•f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.375）上，
∵f（1.34375）=0.01581，∴f（1.3125）•f（1.34375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.34375）上，
由于|1.34375-1.3125|=0.03125＜0.1，且1.3125≈1.3，1.34375≈1.3，
所以f（x）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3．

点评 本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题．