Question

7．如图，已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，E为线段BC上一动点，延长AE交圆O于点F，则$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$的取值范围是[-6，0]．

Answer 1

分析 利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得则$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（$\overrightarrow{OF}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OF}$），再化简为4cos∠MOF-2；求得∠MOF 的范围，可得$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$的取值范围．

解答 解：取AB的中点M，则OM=OA•sin30°=1，
则$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（$\overrightarrow{OF}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OF}$）=$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{OB}$-${\overrightarrow{OF}}^{2}$-$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OF}$
=$\overrightarrow{OF}$•（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$）-4-2•2cos∠AOB=$\overrightarrow{OF}$•2$\overrightarrow{OM}$-4-2•2cos120°=2$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{OM}$-2
=2•2•1•cos∠MOF-2=4cos∠MOF-2．
当点E与点C重合时，点F和点C重合时，∠MOF=π；
当点E与点B重合时，点F和点B重合时，∠MOF=$\frac{π}{3}$；
故4cos∠MOF∈[-6，0]，即$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$的取值范围是[-6，0]，
故答案为：[-6，0]．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．