Question

17．已知函数y=log${\;}_{\sqrt{2}}$（1-x²）
求：（1）函数的定义域；
（2）指出函数的奇偶性；
（3）证明函数在（0，1）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域．
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（3）利用函数单调性的定义进行判断和证明即可．

解答 解：（1）由1-x²＞0得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1）；
（2）∵f（-x）=log${\;}_{\sqrt{2}}$（1-x²）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数；
（3）设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=log${\;}_{\sqrt{2}}$（1-x₁²）-log${\;}_{\sqrt{2}}$（1-x₂²）=log${\;}_{\sqrt{2}}$（$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$）
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴0＜x₁²＜x₂²＜1，
即-x₁²＞-x₂²＞-1，
即1-x₁²＞1-x₂²＞0，
则$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$＞1，即f（x₁）-f（x₂）=log${\;}_{\sqrt{2}}$（$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
即函数在（0，1）上的单调递减．

点评 本题主要考查函数定义域，函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．