Question

12．函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=2^0.2•f（2^0.2），b=ln2•f（ln2），c=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$）•f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$），则a，b，c的大小关系是b＞a＞c．

Answer 1

分析 先判断函数f（x）为偶函数，得出函数F（x）=x•f（x）为奇函数，再根据F（x）的奇偶性和单调性比较a，b，c的大小．

解答 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称（y轴），
所以，y=f（x）为偶函数，
构造函数F（x）=x•f（x），F（x）为奇函数，
根据题意，F'（x）=f（x）+xf'（x）＜0恒成立，
所以F（x）在（-∞，0）上单调递减，
因而F（x）在（0，+∞）上单调递减，
而a=F（2^0.2），b=F（ln2），c=F（$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$），
∵ln2∈（0，1），2^0.2∈（1，2），$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$=2，
∴0＜ln2＜2^0.2＜$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$，因此，b＞a＞c．
故答案为：b＞a＞c．

点评 本题主要考查了运用函数的单调性比较数值的大小，涉及应用导数研究函数的单调性，函数奇偶性的性质应用，属于中档题．