Question

设m，n∈N，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ，
（1）当m=n=7时，若f（x）=a₇x⁷+a₆x⁶+a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀求a₀+a₂+a₄+a₆．
（2）当m=n时，若f（x）展开式中x²的系数是20，求n的值．
（3）f（x）展开式中x的系数是19，当m，n变化时，求x²系数的最小值．

Answer 1

分析：（1）本题可以应用赋值法分别令x=1，x=-1，写出两个等式，把两个等式相加得到要求的下标是偶数的系数的和．
（2）写出二项式的展开式，根据当m=n时，f（x）展开式．中x²的系数是20，得到T₃=2C_n²x²=20x²，求出n的值．
（3）要求一个系数的最小值，首先表示出这个项的系数，根据m，n之间的关系，代入系数的表示式，根据二次函数的最值求法得到结果．

解答：解：（1）本题可以应用赋值法：分别令x=1，x=-1，
2⁸=a₇+a₆+a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀
0=-a₇+a₆-a₅+a₄-a₃+a₂-a₁+a₀
两个式子相加得a₀+a₂+a₄+a₆=128…（4分）
（2）∵当m=n时，f（x）展开式中x²的系数是20，
∴T₃=2C_n²x²=20x²，
∴n=5…（8分）
（3）当m+n=19，
x²的系数为：

C

2 m

+

C

2 n

=

1

2

m(m-1)+

1

2

n(n-1)
=

1

2

[(m+n)2-2mn-(m+n)]=171-mn=171-(19-n)n=(n-

19

2

)2+

323

4

∴当n=10或n=9时，f（x）展开式中x²的系数最小为81．…（12分）

点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确利用二项式的展开式，本题还结合二次函数的性质，是一个综合题目．