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设m,n∈N,f(x)=(1+2x)m+(1+x)n
(Ⅰ)当m=n=2011时,记f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a2011x2011,求a0-a1+a2-…-a2011
(Ⅱ)若f(x)展开式中x的系数是20,则当m、n变化时,试求x2系数的最小值.
分析:(Ⅰ)根据题意,令x=-1,结合f(x)的表达式,可得f(-1)与a0-a1+a2-…-a2011的关系,进而可得答案;
(Ⅱ)根据二项式定理,可得x的系数是2Cm1+Cn1=2m+n,结合题意,可得m、n的关系,又结合二项式定理可得x2的系数为22Cm2+Cn2=4m2-41m+190;由二次函数的性质,分析可得答案.
解答:解:(Ⅰ)在f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a2011x2011中,
令x=-1,得f(-1)=a0-a1+a2-…-a2011
又有f(-1)=(1-2)2011+(1-1)2011
则a0-a1+a2-…-a2011=-1,
(Ⅱ)因为2Cm1+Cn1=2m+n=20,所以n=20-2m,
则x2的系数为22Cm2+Cn2=
m(m-1)
2
+
n(n-1)
2
=2m2-2m+
1
2
(20-2m)(19-2m)
=4m2-41m+190;
所以当m=5,n=10时,f(x)展开式中x2的系数最小,最小值为85.
点评:本题考查二项式定理的运用,解此类题目注意赋值法的运用,令x=0或±1是常见的赋值思路.
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