Question

设m，n∈N，f（x）=（1+2x）^m+（1+x）ⁿ．
（Ⅰ）当m=n=2011时，记f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹，求a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁；
（Ⅱ）若f（x）展开式中x的系数是20，则当m、n变化时，试求x²系数的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，令x=-1，结合f（x）的表达式，可得f（-1）与a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁的关系，进而可得答案；
（Ⅱ）根据二项式定理，可得x的系数是2C_m¹+C_n¹=2m+n，结合题意，可得m、n的关系，又结合二项式定理可得x²的系数为2²C_m²+C_n²=4m²-41m+190；由二次函数的性质，分析可得答案．

解答：解：（Ⅰ）在f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹中，
令x=-1，得f（-1）=a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁，
又有f（-1）=（1-2）²⁰¹¹+（1-1）²⁰¹¹，
则a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁=-1，
（Ⅱ）因为2C_m¹+C_n¹=2m+n=20，所以n=20-2m，
则x²的系数为2²C_m²+C_n²=4×

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=2m2-2m+

1

2

(20-2m)(19-2m)=4m²-41m+190；
所以当m=5，n=10时，f（x）展开式中x²的系数最小，最小值为85．

点评：本题考查二项式定理的运用，解此类题目注意赋值法的运用，令x=0或±1是常见的赋值思路．