Question

设m，n∈N，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ．
（1）当m=n=7时，f（x）=a₇x⁷+a₆x⁶+…+a₁x+a₀，求a₀+a₂+a₄+a₆．
（2）若f（x） 展开式中 的系数是19，当 m，n变化时，求x²系数的最小值．

Answer 1

分析：（1）分别给f（x）中的x赋值1，-1，两个式子相加求出a₀+a₂+a₄+a₆．
（2）由已知得到m，n满足的条件，利用二项展开式的通项公式求出展开式中x²的系数，通过代入消元得到关于n的二次函数，将二次函数配方求出最小值．

解答：解：（1）分别令x=1，x=-1，得a₀+a₂+a₄+a₆=128
（2）有题设知，m+n=19
x²的系数为：

C

2 m

+

C

2 n

=

1

2

m(m-1)+

1

2

n(n-1)
=

1

2

[(m+n)2-2mn-(m+n)]=171-(19-n)n
=(n-

19

2

)2+

323

4

所以，当n=10或n=9时，f（x）展开式中x²的系数最小，为81．

点评：求展开式的系数和常用的方法是赋值法；（2）中求二次函数的最值问题关键是通过配方求出对称轴．