Question

已知f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）-g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

，由

1+x＞0 1-x＞0

求得函数的定义域．
（2）由于f（x）-g（x）=loga

1+x

1-x

，它的定义域为（-1，1），令h（x）=f（x）-g（x），可得h（-x）=-h（x），从而得到函数h（x）=f（x）-g（x）为奇函数．
（3）由f（x）-g（x）＞0 可得loga

1+x

1-x

＞0．当 a＞1时，由

1+x

1-x

＞1 求得x的范围；当0＜a＜1时，由0＜

1+x

1-x

＜1，求得x的范围．

解答：解：（1）由于f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），故f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

，
由

1+x＞0 1-x＞0

，求得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（2）由于f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

，它的定义域为（-1，1），令h（x）=f（x）-g（x），
可得h（-x）=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-h（x），故函数h（x）=f（x）-g（x）为奇函数．
（3）由f（x）-g（x）＞0 可得loga

1+x

1-x

＞0．
当 a＞1时，有

1+x

1-x

＞1，即

2x

x-1

＜0，解得 0＜x＜1．
当0＜a＜1时，有 0＜

1+x

1-x

＜1，即

x+1 1-x ＞0 x+1 1-x ＜1

，即

x+1 x-1 ＜0 2x x-1 ＞0

，解得-1＜x＜0．
综上可得，当 a＞1时，0＜x＜1； 当0＜a＜1时，-1＜x＜0．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，分式不等式的解法，体现了分类讨论和转化的数学思想，属于中档题．