Question

【题目】设数列满足 (且)， .

(1)求证： 是等比数列，并求出数列的通项公式；

(2)对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)求证： .

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) ;(3) 见解析;

【解析】试题分析：(1)由可得，所以是首项为，公比为3的等比数列，进而可求得

(2)由题可转化为，即，对任意恒成立，再看成关于m的一次函数，需，解得

的取值范围为.

(3)由(1)知，利用当时， ，对进行放缩可得

.

试题解析：(1)解：由 (且)得 (且)

∵，∴，∴，(且)

∴是首项为3，公比为3的等比数列.

∴.

∴， .

(2)要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立，

则须使，

即，对任意恒成立，

∴，解得或，

∴实数的取值范围为.

(3)证明：由(1)知，当时， ，

∴，

所以.