Question

7．记数列{2n}的前n项和为a_n，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，数列{b_n}的通项公式为b_n=n-8，则b_nS_n的最小值为（　　）

• A． -3
• B． -4
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由等差数列通项公式求得a_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂项法”即可求得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，b_nS_n=（n-8）（1-$\frac{1}{n+1}$）=n+1+$\frac{9}{n+1}$-10，利用基本不等式的性质，即可求得b_nS_n的最小值．

解答 解：由题意可知：a_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
则b_nS_n=（n-8）（1-$\frac{1}{n+1}$）=n+1+$\frac{9}{n+1}$-10≥2$\sqrt{（n+1）×\frac{9}{n+1}}$-10=-4，
当且仅当n+1=$\frac{9}{n+1}$，即n=2时取最小值-4，
∴b_nS_n的最小值-4，
故答案选：B．

点评 本题考查等差数列通项公式，“裂项法”求数列的前n项和，考查数列与基本不等式相结合，考查计算能力，属于中档题．