Question

2．某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”．现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：

期末分数段	（0，60）	[60，75）	[75，90）	[90，105）	[105，120）	[120，150]
人数	5	10	15	10	5	5
“过关”人数	1	2	9	7	3	4

（1）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关？说明你的理由．

	分数低于90分人数	分数不低于90分人数	合计
过关人数	12	14	26
不过关人数	18	6	24
合计	30	20	50

（2）在期末分数段[105，120）的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
下面的临界值表供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025
k	2.072	2.706	3.841	5.024

${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$．

Answer 1

分析 （1）依题意求出a、b、c、d的值，填写列联表；计算观测值K²，对照数表得出概率结论；
（2）求出在期末分数段[105，120）的5人中随机选3人，“过关”人数X的分布列与数学期望值．

解答 解：（1）依题意得，a=12，b=18，c=14，d=6，
填写列联表如下；

	分数低于9（0分）人数	分数高于9（0分）人数	合计
过关人数	12	14	26
不过关人数	18	6	24
合计	30	20	50

计算观测值K²=$\frac{50{×（12×16-18×14）}^{2}}{30×20×26×24}$=$\frac{225}{52}$≈4.327＞3.841，
对照数表知，有95%的把握认为期末数学成绩不低于90（分）与测试“过关”有关；
（2）在期末分数段[105，120）的5人中，有3人 测试“过关”，
随机选3人，抽取到过关测试“过关”的人数为X的可能取值为1、2、3，
则P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{6}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$；
所以，X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{1}{10}$

X的数学期望为E（X）=1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{6}{10}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{18}{10}$=1.8．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是综合性题目．