【题目】已知.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若在定义域内总存在使
成立,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)的最小值是
.
【解析】试题分析:(1)定义域为
,
,分类讨论得到单调性情况;(2)分参得到
恒成立,令
,求导得到
在
上单调减,在
上单调增,所以
,得
。
试题解析:
(Ⅰ)定义域为
,
①当时,由
解得:
,由
解得:
∴在
上单调递减,在
上单调递增;
②当时,由
解得:
或
,由
解得:
∴在
上单调递减,在
和
上单调递增;
③当时,
(仅在
时等号成立)
∴在
上单调递增;
④当时,由
解得:
或
,由
解得:
∴在
上单调递减,在
和
上单调递增.
(Ⅱ)由已知,在定义域内总存在使
成立,
即,使
成立
令,则
∴在
上单调递增,在
上单调递减
∴
所以, 式转化为
使
成立
即,
令,则
∴在
上单调减,在
上单调增
∴
所以, 即
的最小值是
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
.
(1)当时,求曲线
和曲线
的交点
的直角坐标;
(2)当时,设
,
分别是曲线
与曲线
上动点,求
的最小值.
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【题目】如图,四棱锥中,底面
为梯形,
底面
,
,
,
,
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)设为
上的一点,满足
,若直线
与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
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【题目】有一名同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对某种引领销售的影响,记录了2015年7月至12月每月15号下午14时的气温和当天的饮料杯数,得到如下资料:
该同学确定的研究方案是:现从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据取线性回归方程,再用被选中的2组数据进行检验.
(1)求选取2组数据恰好是相邻两个月的概率;
(2)若选中的是8月与12月的两组数据,根据剩下的4组数据,求出关于
的线性回归方程
;
(3)若有线性回归方程得到估计,数据与所宣称的检验数据的误差不超过3杯,则认为得到的线性回归方程是理想的,请问(2)所得线性回归方程是否理想.
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:
,
,
.
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【题目】为增强市民的节能环保意识,汕头市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区是:
,
(1)求图中的值,并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在
岁的人数;
(2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 10 名参加人民广场的宣传活动,再从这 10 名志愿者中选取 3 名担任主要负责人.记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 ,求
的分布列及数学期望.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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【题目】已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关,为了确定下一个时段鸡舍的控制温度,某企业需要了解鸡舍的温度(单位:℃),对某种鸡的时段产蛋量
(单位:
)和时段投入成本
(单位:万元)的影响,为此,该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度
和产蛋量
的数据,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值.
17.40 | 82.30 | 3.6 | 140 | 9.7 | 2935.1 | 35.0 |
其中.
(1)根据散点图判断, 与
哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量
关于鸡舍时段控制温度
的回归方程类型?(给判断即可,不必说明理由)
(2)若用作为回归方程模型,根据表中数据,建立
关于
的回归方程;
(3)已知时段投入成本与
的关系为
,当时段控制温度为28℃时,鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少?
附:①对于一组具有有线性相关关系的数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
②
0.08 | 0.47 | 2.72 | 20.09 | 1096.63 |
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