【题目】已如椭圆,四点
中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设不经过左焦点的直线交椭圆于A,B两点,若直线
、
、
的斜率依次成等差数列,求直线l的斜率k的取值范围.
【答案】(1) (2)
或
.
【解析】
(1)先判断在椭圆上,然后再代入坐标进行判断,即可求解出椭圆的方程;
(2)联立直线与椭圆方程,根据斜率成等差数列求解出直线方程中之间的关系,再根据联立后的一元二次方程的
即可求解出斜率
的取值范围.
解:(1)由椭圆的对称性,点在椭圆上,代入椭圆可得,
,
若点在椭圆上,
则有,联立无解,
所以点在椭圆上,代入椭圆可得,
,
代入中解得,
,
所以椭圆C的方程的为.
(2)由(1)可知,
设直线AB的方程为,,
联立,
消y可得,,
则有,
①,
由题意可知,,
化简整理可得,,
若,则直线AB的方程为
,过点
,不满足题意
所以,即
,
化简可得,,
代入①中得,,
整理可得,
解得,
所以直线l的斜率k的取值范围为或
.
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【题目】随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下.
(1)已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中,甲商家的“平均送达时间”为18分钟。现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研,求甲商家被抽到的概率;
(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数;
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,以
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
;直线
的参数方程为
(t为参数).直线
与曲线
分别交于
两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(2)若点的极坐标为
,
,求
的值.
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【题目】从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
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【题目】在直角坐标系中,圆:
经过伸缩变换
,后得到曲线
以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
求曲线
的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程;
在
上求一点M,使点M到直线l的距离最小,并求出最小距离.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
、
,过
的直线
与椭圆
相交于
、
两点.
(1)求 的周长;
(2)设点为椭圆
的上顶点,点
在第一象限,点
在线段
上.若
,求点
的横坐标;
(3)设直线不平行于坐标轴,点
为点
关于
轴的对称点,直线
与
轴交于点
.求
面积的最大值.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,
,
,
,
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点作与
轴不重合的直线
交椭圆
于
,
两点,连接
,
分别交直线
于,
,
两点,若直线
,
的斜率分别为
,
,试问:
是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
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