【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论函数
的单调性;
(Ⅱ)当,
时,
,其中
,证明:
.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)依题意,再对
分类讨论求出函数
的单调性;
(Ⅱ)由题得,分析得到只需证
时,
成立即可. 令
,证明
即得证.
(Ⅰ)依题意,,
.
当时,
.
所以当时,
,当
时,
.
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增.
当时,令
,解得
或
.
若,则
,所以函数
在
上单调递增;
若,则
,
所以当时,
,当
时,
,当
时,
,所以函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
若,则
,
所以当时,
,当
时,
,当
时,
,所以函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减.
(Ⅱ)依题意,得,所以
.
要证,即证
,即证
,即证
,
即证,所以只需证
时,
成立即可.
令,则
.
令,则
.
所以在
上单调递增.
所以,即
,所以
.
所以在
上单调递增.所以
,
所以,即
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知命题:关于
的不等式
无解;命题
:指数函数
是
上的增函数.
(1)若命题为真命题,求实数
的取值范围;
(2)若满足为假命题且
为真命题的实数
取值范围是集合
,集合
,且
,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】条形图给出的是2017年全年及2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数与中位数,饼图给出的是2018年全年全国居民人均消费及其构成,现有如下说法:
①2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年;
②2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的;
③2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的.
则上述说法中,正确的个数是( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,直平行六面体的所有棱长都为2,
,过体对角线
的截面S与棱
和
分别交于点E、F,给出下列命题中:
①四边形的面积最小值为
;
②直线EF与平面所成角的最大值为
;
③四棱锥的体积为定值;
④点到截面S的距离的最小值为
.
其中,所有真命题的序号为( )
A.①②③B.①③④C.①③D.②④
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆与直线
交于
两点,
不与
轴垂直,圆
.
(1)若点在椭圆
上,点
在圆
上,求
的最大值;
(2)若过线段的中点
且垂直于
的直线
过点
,求直线
的斜率的取值范围.
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【题目】2014年7月18日15时,超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计,本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元.适逢暑假,小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失,作出如下频率分布直方图:
经济损失 4000元以下 | 经济损失 4000元以上 | 合计 | |
捐款超过500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合计 |
(1)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如上表,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
(2)台风造成了小区多户居民门窗损坏,若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修,李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区,张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区,求连续3天内,李师傅比张师傅早到小区的天数的数学期望.
附:临界值表
参考公式: .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已如椭圆,四点
中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设不经过左焦点的直线交椭圆于A,B两点,若直线
、
、
的斜率依次成等差数列,求直线l的斜率k的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1=2,AB=1,E为AD中点,F为CC1中点.
(1)求证:AD⊥D1F;
(2)求证:CE//平面AD1F;
(3)求AA1与平面AD1F成角的余弦值.
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