Question

5．已知函数f（x）=$\frac{4{x}^{2}-7}{2-x}$，x∈[0，1]．
（1）求f（x）的单调区间和值域；
（2）设函数g（x）=x-4-alnx，x∈（$\frac{1}{e}$，e³），a∈R，若对于任意x₀∈[0，1]，总存在x₁，x₂∈（$\frac{1}{e}$，e³），x₁≠x₂，使得g（x₁）=g（x₂）=f（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而求得f（x）的值域；
（2）对于任意x₀∈[0，1]，总存在x₁，x₂∈（$\frac{1}{e}$，e³），x₁≠x₂，使得g（x₁）=g（x₂）=f（x₀）成立，即函数g（x）在区间（$\frac{1}{e}$，e³）上不是单调函数．…构造函数g（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，x∈（$\frac{1}{e}$，e³），再由导数求得g（x）的最值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-（2x-1）（2x-7）}{（2-x）^{2}}$，x∈[0，1]．…（2分）
f′（x）＞0，解得$\frac{1}{2}$＜x＜1，
f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
所以函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上是增函数，在（0，$\frac{1}{2}$）上是减函数．…（4分）
f（$\frac{1}{2}$）=-4，f（0）=-$\frac{7}{2}$，f（1）=-3．
所以函数f（x）的单调增区间为（$\frac{1}{2}$，1），单调减区间为（0，$\frac{1}{2}$），值域为[-4，-3]．…（6分）
（2）因为对于任意x₀∈[0，1]，总存在x₁，x₂∈（$\frac{1}{e}$，e³），x₁≠x₂，使得g（x₁）=g（x₂）=f（x₀）成立，
所以函数g（x）在区间（$\frac{1}{e}$，e³）上不是单调函数．…（8分）
g（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，x∈（$\frac{1}{e}$，e³）．
因为g（x）在区间（$\frac{1}{e}$，e³）上不是单调函数，所以$\frac{1}{e}$＜x≤a，①且易知g（x）在区间（$\frac{1}{e}$，a）上是减函数，在区间（a，e³）上是增函数．…（10分）
当$\frac{1}{e}$＜x≤a时，g（a）≤g（x）＜$\frac{1}{e}$-4+a；当a≤x＜e＜3＜时，g（a）≤g（x）＜e³-4-3a．
根据题意，得g（a）＜-4，②$\frac{1}{e}$-4+a＞-3，③e³-4-3a＞-3．④…（14分）
解由①②③④组成的不等式组，得e＜x＜$\frac{{e}^{3}-1}{3}$．
所以a的取值范围为（e，$\frac{{e}^{3}-1}{3}$）…（16分）

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查不等式恒成立和存在性问题，注意运用参数分离和构造函数通过导数判断单调性，求出最值，属于难题．