Question

14．已知函数f（x）=lnx+ax+2x²在（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[-5，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a≥-4x-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）恒成立，令g（x）=-4x-$\frac{1}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$+a+4x=$\frac{{4x}^{2}+ax+1}{x}$，
若f（x）在（1，+∞）递增，
则4x²+ax+1≥0在x∈（1，+∞）恒成立，
即a≥-4x-$\frac{1}{x}$在x∈（1，+∞）恒成立，
令g（x）=-4x-$\frac{1}{x}$，g′（x）=-4+$\frac{1}{x}$=$\frac{1-4x}{x}$＜0，
g（x）在（1，+∞）递减，
∴g（x）＜g（1）=-5，
故a≥-5，
故答案为：[-5，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．