Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x{\;}^{2}，（x≤0）}\\{\sqrt{2-x{\;}^{2}}，（x＞0）}\end{array}\right.$则${∫}_{-1}^{\sqrt{2}}$f（x）dx=（　　）

• A． $\frac{π}{2}$-$\frac{1}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$+$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$+$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$-$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由${∫}_{-1}^{\sqrt{2}}$f（x）dx=${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$x²dx，分别根据定积分的几何意义和定积分的计算法则计算计算即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x{\;}^{2}，（x≤0）}\\{\sqrt{2-x{\;}^{2}}，（x＞0）}\end{array}\right.$，
∴${∫}_{-1}^{\sqrt{2}}$f（x）dx=${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$x²dx，
∵${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心，以$\sqrt{2}$为半径的圆的面积的四分之一，
∴${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$π•2=$\frac{π}{2}$，
∴${∫}_{-1}^{\sqrt{2}}$f（x）dx=${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$x²dx=$\frac{π}{2}$+$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{-1}^{0}$=$\frac{π}{2}$+$\frac{1}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义，属于中档题．