Question

18．设点P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，且|PF₁|-|PF₂|=2，点P到双曲线的两条渐近线的距离之积为$\frac{4}{5}$，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线的方程为bx±ay=0，设P（x，y），利用点P到双曲线的两条渐近线的距离之积为$\frac{{b}^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，求出c，利用双曲线的定义，求出a，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线的方程为bx±ay=0，
设P（x，y），则点P到双曲线的两条渐近线的距离之积为$\frac{{b}^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵|PF₁|-|PF₂|=2，
∴a=1，
∴双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．