Question

7．设f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n为正整数），若f（1）=n²，则（　　）

• A． a_n=2n-1，f（$\frac{1}{3}$）的最小值为1
• B． a_n=n，f（$\frac{1}{3}$）的最小值为$\frac{1}{3}$
• C． a_n=2n-1，f（$\frac{1}{3}$）的最小值为$\frac{1}{3}$
• D． a_n=n，f（$\frac{1}{3}$）的最小值为$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 把n=1代入f（x）得a₁+a₂+…+a_n=n²，令n取n-1代入得a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²，两个式子相减后在验证n=1时是否成立，即可求出a_n，代入$f（\frac{1}{3}）$后利用错位相减法求出$f（\frac{1}{3}）$，利用作差法判断出$f（\frac{1}{3}）$的单调性，从而求出$f（\frac{1}{3}）$的最小值．

解答 解：∵f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n为正整数），且f（1）=n²，
∴a₁+a₂+…+a_n=n²，
当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²，
两个式子相减可得，a_n=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，a₁=1，代入上式也符合，
∴a_n=2n-1，则f（x）=x+3x²+5x³+…+（2n-1）xⁿ，
∴$f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{3}+3•\frac{1}{{3}^{2}}+5•\frac{1}{{3}^{3}}+…+（2n-1）•\frac{1}{{3}^{n}}$，①
$\frac{1}{3}$$f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{{3}^{2}}+3•\frac{1}{{3}^{3}}+5•\frac{1}{{3}^{4}}+…+（2n-1）•\frac{1}{{3}^{n+1}}$，②
①-②得，$\frac{2}{3}$$f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{3}+2[\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+\frac{1}{{3}^{4}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}]-（2n-1）•\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+2×$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$$-（2n-1）•\frac{1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{2}{3}-\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$
∴$f（\frac{1}{3}）$=$1-\frac{n+1}{{3}^{n}}$，
∵$1-\frac{n+2}{{3}^{n+1}}$-（$1-\frac{n+1}{{3}^{n}}$）=$-\frac{n+2}{{3}^{n+1}}+\frac{n+1}{{3}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n+1}}$＞0，
∴$f（\frac{1}{3}）$随着n的增大而增大，则$f（\frac{1}{3}）$的最小值是1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式，数列的前n项和与通项公式的关系式应用，利用作差法判断数列的单调性，以及错位相减法求数列的和，属于中档题．