Question

2．在△ABC内，sinA+sinC=2sinB，sinA=2sinC
（1）求cosA的值；
（2）若S_△ABC=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，求b．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，整理表示出b与a，由余弦定理表示出cosA，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）由cosA的值求出sinA的值，再由b与c，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinA的值代入计算即可求出b的值．

解答 解：（1）在△ABC内，sinA+sinC=2sinB，sinA=2sinC，
利用正弦定理分别化简得：a+c=2b，a=2c，
整理得：b=1.5c，
由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2.25{c}^{2}+{c}^{2}-4{c}^{2}}{3{c}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$；
（2）∵cosA=-$\frac{1}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3}{4}$c²•$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，
解得：c=2，
则b=3．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．