Question

13．已知x₁，x₂是函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}b{x}^{2}$+cx+d的两个极值点，且满足1＜x₁＜x₂＜2，a，b，c∈Z，则当正整数a取得最小值时，b-c=（　　）

• A． -5
• B． -4
• C． -3
• D． -2

Answer 1

分析 先求导，x₁，x₂是函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}b{x}^{2}$+cx+d的两个极值点，x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx+c=0的两个根，
由于二次方程和二次函数的关系，令g（x）=ax²+bx+c，则有判别式大于0，且f（1）≥0，f（2）≥0，对称轴x=-$\frac{b}{2a}$介于1和2之间，先求得a=1，再求b=-3，再由不等式可得c=2，进而得到b+c=-1

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}b{x}^{2}$+cx+d，
∴f′（x）=ax²+bx+c，
∵x₁，x₂是函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}b{x}^{2}$+cx+d的两个极值点，
∴x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx+c=0的两个根，
∵1＜x₁＜x₂＜2，a，b，c∈Z
令g（x）=ax²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-4ac＞0}\\{a＞0}\\{g（1）≥0}\\{g（2）≥0}\\{1＜-\frac{b}{2a}＜2}\end{array}\right.$，（a，b，c∈Z），
当正整数a取得最小值1时，
即有$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-4c＞0}\\{1+b+c≥0}\\{4+2b+c≥0}\\{2＜-b＜4}\end{array}\right.$（a，b，c∈Z），
则有b=-3，
即有2≤c＜$\frac{9}{4}$，c∈Z，
则c=2，
即有b+c=-3-2=-5，
故选：A

点评 本题考查二次方程的实根分布以及导数和函数零点的问题，主要考查二次函数的图象和性质，运用不等式的性质是解题的关键，属于中档题