Question

设函数f_n=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…+（-1）ⁿ

xn

n

，其中n为正整数，则集合M={x|f₄（x）=0，x∈R}中元素个数是（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、4个

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：先把f₄（x）求出来，求集合M={x|f₄（x）=0，x∈R}中元素个数即为判断方程f₄（x）=0的根的个数问题，因为是一个四次方程，所以可以通过利用导数研究函数f₄（x）的单调性、极值等，再结合该函数图象解决问题．

解答： 解：由已知得f₄=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

1

4

x4，
∴f′（x）=x³-x²+x-1=（x-1）（x²+1），
∵当x＜1时，f′（x）＜0，此时原函数是减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时原函数是增函数，
∴f（x）_min=f（1）=

5

12

，
∴f₄（x）≥

5

12

恒成立，
∴f₄（x）=0，x∈R无实根．
故选A

点评：方程的根的个数及其所在范围的判断问题，一般转化为其所对应的函数的零点问题，往往借助于导数先研究其单调性、极值、最值等涉及图象要素的性质，再借助于函数的图象与x轴的位置关系求解．