Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+alnx，若对任意两个不等的正实数x₁，x₂都有$\frac{{f（x{\;}_1）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞2恒成立，则实数a的取值范围是[1，+∞）．

Answer 1

分析 方法一：由题意可知：当x＞0时，f′（x）＞2恒成立，则a＞2x-2x²，在（0，+∞）上恒成立，即a＞g（x）_max，根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围；
方法二：构造函数g（x）=f（x）-2x，x＞0，求导，由题意可知f′（x）＞2，（0，+∞）上恒成立，则a＞h（x）_max，根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：方法一：对任意两个不等的正实数x₁，x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞2恒成立，
则当x＞0时，f′（x）＞2恒成立
f′（x）=x+$\frac{a}{x}$＞2，在（0，+∞）上恒成立，
则a＞2x-x²，在（0，+∞）上恒成立，
设g（x）=2x-x²，x＞0，
函数的对称轴为x=1，
则当x=1时，取最大值，最大值为g（x）_max=1，
∴a＞1，
则实数a的取值范围[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．
方法二：设g（x）=f（x）-2x，x＞0，
求导g′（x）=f′（x）-2，
由$\frac{{f（x{\;}_1）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞2，则g′（x）=f′（x）-2＞0，
则f′（x）＞2，即f′（x）=x+$\frac{a}{x}$≥2，在（0，+∞）上恒成立，
则a≥2x-x²，在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=2x-x²，x＞0，
函数的对称轴为x=1，
则当x=1时，取最大值，最大值为h（x）_max=1，
∴a≥1，
则实数a的取值范围[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．

点评 本题考查导数的意义，利用求函数的最值，考查二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．