Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，在定义域内恒成立，求实数的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出函数的的定义域以及导函数，分类讨论，，情况下导数的正负，由此得到答案；

（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得函数的最小值，要使在定义域内恒成立，则恒成立，令，利用导数求出的最值，从而得到实数的值。

（Ⅰ）由题可得函数的的定义域为，；

（1） 当时，恒成立，则单调递增区间为，无单调递减区间

（2） 当时，恒成立，则单调递增区间为，无单调递减区间；

（3） 当时，令，解得：，令，解得：，则单调递增区间为，单调递减区间为；

综述所述：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时， 单调递增区间为，单调递减区间为，则；

所以在定义域内恒成立，则恒成立，即，

令，先求的最大值：，令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以的单调增区间为，单调减区间为，则

所以当时，恒成立，即在定义域内恒成立，

故答案为