Question

平面内有四边形ABCD，

BC

=2

AD

，且AB=CD=DA，

AD

=

a

，

BA

=

b

，M是CD的中点．
（1）试用

a

，

b

表示

BM

；
（2）若AB上有点P，PC和BM的交点为Q，已知PQ：QC=1：2，求AP：PB和BQ：QM．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的中点表示，及向量的数乘，即可得到向量BM；
（2）设

BP

=t

BA

，

BQ

=λ

BM

，运用向量的三角形法则，及平面向量的基本定理，得到λ，t的方程，解得即可．

解答： 解：（1）由于M是CD的中点，
则

BM

=

1

2

（

BC

+

BD

）=

1

2

（

BA

+

AD

+2

AD

）
=

3

2

a

+

1

2

b

，
（2）设

BP

=t

BA

，则

BQ

=

BC

+

CQ

=

BC

+

2

3

CP

=

2

3

t

BA

+

2

3

AD

=

2

3

（

a

+t

b

）
设

BQ

=λ

BM

=

3λ

2

a

+

λ

2

b

，
由于

BA

，

AD

不共线，则有

3λ 2 = 2 3 λ 2 = 2t 3

，
解方程组，得λ=

4

9

，t=

1

3

．
故AP：PB=2：1，BQ：QM=4：5．

点评：本题考查向量共线的定理和平面向量基本定理的运用，考查运算能力，属于基础题．