Question

数列{a_n}满足a₀=

3

，a_n+1=[a_n]+

1

{an}

，（[a_n]与{a_n}分别表示a_n的整数部分与分数部分），则a₂₀₁₄=（　　）

• A、3020+

  3

• B、3020+

  3 -1

  2

• C、

  3

  +3018
• D、3018+

  3 -1

  2

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系，求出数列的前几项，得到数列的规律性，即可得到结论．

解答： 解：∵a₀=

3

，a_n+1=[a_n]+

1

{an}

，a₀=

3

=1+（

3

-1），
∴a₁=[a₀]+{

1

a0

}=1+

1

3 -1

=1+

3 +1

2

=2+

3 -1

2

，
a₂=[a₁]+{

1

a1

}=2+

1

3 -1 2

=2+

2

3 -1

=4+(

3

-1)，
a₃=[a₂]+{

1

a2

}=4+

1

3 -1

=4+

3 +1

2

=5+

3 -1

2

，
a₄=[a₃]+{

1

a3

}=5+

1

3 -1 2

=5+

2

3 -1

=7+(

3

-1)，
a₅=[a₄]+{

1

a4

}=7+

1

3 -1

=7+

3 +1

2

=8+

3 -1

2

，

a₆=[a₅]+{

1

a5

}=8+

2

3 -1

=8+

3

+1=10+（

3

-1），

a₇=[a₆]+{

1

a6

}=10+

1

3 -1

=10+

3 +1

2

=11+

3 -1

2

，

a₈=[a₇]+{

1

a7

}=11+

2

3 -1

=11+

3

+1=13+（

3

-1），
…
a_2n=（3n+1）+（

3

-1），
则a₂₀₁₄=a_2×1007=（3×1007+1）+（

3

-1）=3020+

3

，
故选：A

点评：本题主要考查数列项的求解，根据数列的递推关系得到数列的规律性，是解决本题的关键．