Question

设a＞0，f（x）=

3x

a

+

a

3x

是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性；
（3）求函数的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用偶函数的性质f（-x）=-f（x）得f（-1）=-f（1），代入函数解析式列出方程，可求得a的值；
（2）先判断出函数的单调性，再利用函数单调性的定义证明，即设值、作差、变形、定符号和下结论步骤；
（3）利用基本不等式求出f（x）的最小值，再得到函数的值域．

解答： 解：（1）由题意得，f（x）=

3x

a

+

a

3x

是R上的偶函数，
所以f（-x）=f（x），则f（-1）=f（1），
即

3-1

a

+

a

3-1

=

3

a

+

a

3

，化简得a²=1，
又a＞0，所以a=1；
（2）由（1）得，f(x)=3x+

1

3x

，则f（x）在[0，+∞）上是增函数，
任取x₁、x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=3x1+

1

3x1

-（3x2+

1

3x2

）
=（3x1-3x2）+

3x2-3x1

3x1•3x2

=

(3x1-3x2)(3x13x2-1)

3x1•3x2

，
由0≤x₁＜x₂，得3x1-3x2＜0，3x1•3x2＞1，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（3）因为3^x＞0，所以f(x)=3x+

1

3x

≥2

3x• 1 3x

=2，
当且仅当3x=

1

3x

时取等号，函数f（x）取到最小值2，
所以函数的值域是[2，+∞）．

点评：本题考查函数奇偶性的定义、性质，基本不等式求函数的最值，以及函数单调性的证明方法：定义法，属于中档题．