Question

【题目】各项均为正数的数列{bn}的前n项和为Sn ， 且对任意正整数n，都有2Sn=bn（bn+1）．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）如果等比数列{an}共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{an}的每相邻两项ak与ak+1之间插入k个（﹣1）kbk（k∈N*）后，得到一个新的数列{cn}．求数列{cn}中所有项的和；
（3）如果存在n∈N* ， 使不等式 成立，求实数λ的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，由2S1=b1（b1+1）得b1=1，

当n≥2时，由2Sn=bn（bn+1），2Sn﹣1=bn﹣1（bn﹣1+1）得（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1）=bn+bn﹣1

因数列{bn}的各项均为正数，所以bn﹣bn﹣1=1，

所以数列{bn}是首项与公差均为1的等差数列，

所以数列{bn}的通项公式为bn=n．

（2）解：数列{an}的通项公式为 ，

数列{cn}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015项，

其所有项的和为S1008×2015=（2+22+…+22015）+（﹣1+22﹣32+42﹣…20132+20142）

=2（22015﹣1）+[3+7+…+4027]=22016﹣2+ ×1007

=22016+2015×1007﹣2=22016+2029103

（3）解：由 ，

得 ，

记

因为 ，当 取等号，所以 取不到 ，

当n=3时， 的最小值为 （n∈N*）递减，

的最大值为B1=6，

所以如果存在n∈N*，使不等式 成立

实数λ应满足A3≤λ≤B1，即实数λ的范围应为

【解析】
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能得出正确答案．