Question

【题目】已知函数f(x)＝2x，x∈R.

(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？

(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当m＝0或m≥2时，方程有一个解；当0<m<2时，方程有两个解．（2）m的取值范围为(－∞，0]。

【解析】

（1）有一个解、两个解问题，转化成F（x）=|f（x）-2|与G(x)=m有一个交点还是两个交点问题；

（2）不等式[f（x）]2+f（x）-m＞0在R上恒成立，即4x+2x-m＞0在R上恒成立，利用参变量分离法，转化成求4x+2x的取值范围.

(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．

由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；

当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．

(2)令f(x)＝t(t>0)，t=2x，则H(t)＝t2＋t，（t>0）

因为H(t)＝－ 在区间(0，＋∞)上是增函数，

所以H(t)>H(0)＝0.

因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，

应有m≤0，

即所求m的取值范围为(－∞，0]．