Question

13．已知函数f（x）=|x-1|+|x+a|-x-2．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）设a＞-1，且存在x₀∈[-a，1），使得f（x₀）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，不等式即|x-1|+|x+1|-x-2＞0，等价于$\left\{\begin{array}{l}x≤1\\ 1-x+（{-x-1}）-x-2＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜1\\（{1-x}）+x+1-x-2＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\（{x-1}）+（{x+1}）-x-2＞0\end{array}\right.$，即可求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）当x∈[-a，1）时，f（x）=a-x-1，不等式f（x）≤0可化为a≤x+1，若存在x₀∈[-a，1），使得f（x₀）≤0，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x-1|+|x+1|-x-2＞0，
等价于$\left\{\begin{array}{l}x≤1\\ 1-x+（{-x-1}）-x-2＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜1\\（{1-x}）+x+1-x-2＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\（{x-1}）+（{x+1}）-x-2＞0\end{array}\right.$
解得x≤-1或-1＜x＜0或x＞2，
即不等式f（x）＞0的解集为（-∞，0）∪（2，+∞）．
（Ⅱ）当x∈[-a，1）时，f（x）=a-x-1，不等式f（x）≤0可化为a≤x+1，
若存在x₀∈[-a，1），使得f（x₀）≤0，则a＜2，
所以a的取值范围为（-1，2）．

点评 本题考查不等式的解法，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．