Question

18．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-bx（b为常数）．
（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；
（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；
（3）若b≥2，?x₁，x₂∈[1，2]，且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数根据二次函数的性质求出b的值即可；
（2）求出h（x）的导数，结合二次函数的性质得到关于b的不等式组，解出即可；
（3）问题等价于f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁），即h（x）=f（x）+g（x）=$lnx+\frac{1}{2}{x^2}-bx$在区间[1，2]上是增函数，根据函数的单调性求出b的范围即可．

解答 解：（1）因为f（x）=lnx，所以$f'（x）=\frac{1}{x}$，因此f'（1）=1，
所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x^2}-bx}\end{array}}\right.$得x²-2（b+1）x+2=0．
由△=4（b+1）²-8=0，得$b=-1±\sqrt{2}$．
（还可以通过导数来求b）
（2）因为h（x）=f（x）+g（x）=$lnx+\frac{1}{2}{x^2}-bx$（x＞0），
所以$h'（x）=\frac{1}{x}+x-b=\frac{{{x^2}-bx+1}}{x}$，
由题意知h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，
因为x＞0，设u（x）=x²-bx+1，因为u（0）=1＞0，
则只要$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}＞0}\\{{b}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，解得b＞2，
所以b的取值范围是（2，+∞）．
（3）不妨设x₁＞x₂，
因为函数f（x）=lnx在区间[1，2]上是增函数，
所以f（x₁）＞f（x₂），
函数g（x）图象的对称轴为x=b，且b＞2．
当b≥2时，函数g（x）在区间[1，2]上是减函数，
所以g（x₁）＜g（x₂），
所以|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|，
等价于f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁），
即f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），
等价于h（x）=f（x）+g（x）=$lnx+\frac{1}{2}{x^2}-bx$在区间[1，2]上是增函数，
等价于$h'（x）=\frac{1}{x}+x-b≥0$在区间[1，2]上恒成立，
等价于$b≤x+\frac{1}{x}$在区间[1，2]上恒成立，所以b≤2，又b≥2，所以b=2．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．